中国科学技术大学

2025-2026 学年第二学期期末考试试卷

考试科目： 电动力学（李弘）

一、 基础理论与默写（20 分）

1. （8分） 默写介质中积分形式的麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations），并说明其中各个物理量的含义。
2. （6分） 写出两个不同介质交界面上的四个电磁场边界条件（包含介质表面存在自由电荷面密度 $\sigma_f$ 和自由面电流密度 $\vec{K}_f$ 的一般情况）。并从麦克斯韦方程组出发，任选其中两个边界条件进行严格证明。
3. （6分） 给出电磁场能量密度 $w$、能量流密度（坡印廷矢量） $\vec{S}$、动量密度 $\vec{g}$ 以及动量流密度（麦克斯韦应力张量） $T_{ij}$ 的数学表达式。

二、 静磁场与稳恒电流（20 分）

在真空中放置一个外半径为 $b$、内半径为 $a$、厚度 $d = b-a \ll a$ 的无限长空心薄壁介质管。该管的磁导率为 $\mu$，电导率为 $\sigma$。在管外垂直于管轴方向（设为 $x$ 方向）存在一个均匀恒定的外磁场 $\vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_x$。

1. （10分） 若该介质管为超导体或理想导体，即电导率 $\sigma \to \infty$，求管内（$r < a$）、管壁内（$a < r < b$）以及管外（$r > b$）的磁感应强度 $\vec{B}$ 的分布。
2. （10分） 若电导率 $\sigma$ 为有限值，且磁场随时间存在微小扰动或管子绕轴匀速旋转（导致在管壁内激发出感应电流），试推导并求解磁场渗入管内的磁感应强度 $\vec{B}$ 的空间分布，并分析 $\sigma$ 对渗入程度的影响。

三、 电磁波的折射与反射（20 分）

一束频率为 $\omega$ 的平面电磁波从介电常数为 $\varepsilon_1$、磁导率为 $\mu_1$ 的介质 1 垂直入射到介电常数为 $\varepsilon_2$、磁导率为 $\mu_2$ 的介质 2 表面。

1. （10分） 写出反射波和透射波的电场振幅（Fresnel 公式），并推导入射波、反射波和透射波的平均能量密度（${\langle} w{\rangle}$）之间的关系。
2. （10分） 计算交界面处的能流反射比 $R$（Reflectance）和能流透射比 $T$（Transmittance），并定量验证能量守恒定律，即 $R + T = 1$。

四、 电磁辐射（20 分）

在真空中 $z=0$ 的平面上，有两个全同的电子（电荷量均为 $e$，质量均为 $m$）。它们均绕坐标原点 $O$ 在 $xy$ 平面上做半径为 $R$、角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动。设电子 1 的运动方程为 $\phi_1(t) = \omega t$，电子 2 的运动方程为 $\phi_2(t) = \omega t + \alpha$，其中 $\alpha$ 为两电子之间的恒定相位差。

1. （10分） 在电偶极辐射近似下，计算该系统的电偶极矩 $\vec{p}(t)$，并求出其在远区（辐射区）产生的辐射电磁场。
2. （10分） 计算该系统在单位时间内辐射的总平均功率 $\langle P \rangle$，并详细讨论当相位差 $\alpha = 0$ 和 $\alpha = \pi$ 时，辐射功率的特征及其物理机制。若电偶极辐射消失，简述需要考虑的更高阶辐射效应。

五、 狭义相对论电动力学（20 分）

在实验室参考系 $K$ 中，有一对无限大的理想平行导体板，水平放置于 $z = \pm d/2$ 处。板上分别带有面电荷密度 $\pm \sigma_0$。现在有另一个惯性参考系 $K’$ 以相对于 $K$ 系的速度 $\vec{v} = v \vec{e}_x$（即 $\beta = v/c$）沿 $x$ 轴正方向运动。

1. （6分） 分别求出在 $K$ 系和 $K’$ 系中观察到的源相（即面电荷密度 $\sigma’$ 和面电流密度 $\vec{K}’$）。
2. （8分） 利用电磁场强张量 $F_{\mu\nu}$ 的洛伦兹变换，求出在 $K’$ 系中两板之间的电场和磁场分布。
3. （6分） 分别在 $K$ 系和 $K’$ 系中，利用麦克斯韦应力张量或洛伦兹力公式，计算单位面积导体板所受到的电磁力和压力，并验证两参考系下力学规律的协变性。

试卷总分：100 分   考试时间：120 分钟