中国科学技术大学

2025-2026 学年第二学期期末考试试卷

考试科目： 电动力学（李弘）

一、 基础理论与默写（20 分）

  1. （8分） 默写介质中积分形式的麦克斯韦方程组（Maxwell's equations），并说明其中各个物理量的含义。
  2. （6分） 写出两个不同介质交界面上的四个电磁场边界条件（包含介质表面存在自由电荷面密度 σf\sigma_f 和自由面电流密度 K⃗f\vec{K}_f 的一般情况）。并从麦克斯韦方程组出发，任选其中两个边界条件进行严格证明。
  3. （6分） 给出电磁场能量密度 ww、能量流密度（坡印廷矢量） S⃗\vec{S}、动量密度 g⃗\vec{g} 以及动量流密度（麦克斯韦应力张量） TijT_{ij} 的数学表达式。

二、 静磁场与稳恒电流（20 分）

在真空中放置一个外半径为 bb、内半径为 aa、厚度 d=b−a≪ad = b-a \ll a 的无限长空心薄壁介质管。该管的磁导率为 μ\mu，电导率为 σ\sigma。在管外垂直于管轴方向（设为 xx 方向）存在一个均匀恒定的外磁场 B⃗0=B0e⃗x\vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_x。

  1. （10分） 若该介质管为超导体或理想导体，即电导率 σ→∞\sigma \to \infty，求管内（r<ar < a）、管壁内（a<r<ba < r < b）以及管外（r>br > b）的磁感应强度 B⃗\vec{B} 的分布。
  2. （10分） 若电导率 σ\sigma 为有限值，且磁场随时间存在微小扰动或管子绕轴匀速旋转（导致在管壁内激发出感应电流），试推导并求解磁场渗入管内的磁感应强度 B⃗\vec{B} 的空间分布，并分析 σ\sigma 对渗入程度的影响。

三、 电磁波的折射与反射（20 分）

一束频率为 ω\omega 的平面电磁波从介电常数为 ε1\varepsilon_1、磁导率为 μ1\mu_1 的介质 1 垂直入射到介电常数为 ε2\varepsilon_2、磁导率为 μ2\mu_2 的介质 2 表面。

  1. （10分） 写出反射波和透射波的电场振幅（Fresnel 公式），并推导入射波、反射波和透射波的平均能量密度（⟨w⟩_{\langle} w_{\rangle}）之间的关系。
  2. （10分） 计算交界面处的能流反射比 RR（Reflectance）和能流透射比 TT（Transmittance），并定量验证能量守恒定律，即 R+T=1R + T = 1。

四、 电磁辐射（20 分）

在真空中 z=0z=0 的平面上，有两个全同的电子（电荷量均为 ee，质量均为 mm）。它们均绕坐标原点 OO 在 xyxy 平面上做半径为 RR、角速度为 ω\omega 的匀速圆周运动。设电子 1 的运动方程为 ϕ1(t)=ωt\phi_1(t) = \omega t，电子 2 的运动方程为 ϕ2(t)=ωt+α\phi_2(t) = \omega t + \alpha，其中 α\alpha 为两电子之间的恒定相位差。

  1. （10分） 在电偶极辐射近似下，计算该系统的电偶极矩 p⃗(t)\vec{p}(t)，并求出其在远区（辐射区）产生的辐射电磁场。
  2. （10分） 计算该系统在单位时间内辐射的总平均功率 ⟨P⟩\langle P \rangle，并详细讨论当相位差 α=0\alpha = 0 和 α=π\alpha = \pi 时，辐射功率的特征及其物理机制。若电偶极辐射消失，简述需要考虑的更高阶辐射效应。

五、 狭义相对论电动力学（20 分）

在实验室参考系 KK 中，有一对无限大的理想平行导体板，水平放置于 z=±d/2z = \pm d/2 处。板上分别带有面电荷密度 ±σ0\pm \sigma_0。现在有另一个惯性参考系 K′K' 以相对于 KK 系的速度 v⃗=ve⃗x\vec{v} = v \vec{e}_x（即 β=v/c\beta = v/c）沿 xx 轴正方向运动。

  1. （6分） 分别求出在 KK 系和 K′K' 系中观察到的源相（即面电荷密度 σ′\sigma' 和面电流密度 K⃗′\vec{K}'）。
  2. （8分） 利用电磁场强张量 FμνF_{\mu\nu} 的洛伦兹变换，求出在 K′K' 系中两板之间的电场和磁场分布。
  3. （6分） 分别在 KK 系和 K′K' 系中，利用麦克斯韦应力张量或洛伦兹力公式，计算单位面积导体板所受到的电磁力和压力，并验证两参考系下力学规律的协变性。

试卷总分：100 分   考试时间：120 分钟